$\mathbb{R}^{N}$ 中分数阶 Schrödinger 系统解的多重性

本文研究以下分数阶 Schrödinger 方程的非局部系统：\n\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{ll} \varepsilon^{2s} (-\Delta)^{s}u+V(x)u=Q_{u}(u, v)+\gamma H_{u}(u, v) &\mbox{ in } \mathbb{R}^{N}\\ \varepsilon^{2s} (-\Delta)^{s}v+W(x)v=Q_{v}(u, v)+\gamma H_{v}(u, v) &\mbox{ in } \mathbb{R}^{N} \\ u, v>0 &\mbox{ in } \mathbb{R}^{N}, \end{array} \right. \end{equation*}\n其中 $\varepsilon>0$, $s\in (0, 1)$, $N>2s$, $(-\Delta)^{s}$ 是分数阶 Laplacian, $V:\mathbb{R}^{N}\rightarrow \mathbb{R}$ 和 $W:\mathbb{R}^{N}\rightarrow \mathbb{R}$ 是连续势函数, $Q$ 是具有次临界增长的齐次 $C^{2}$ 函数, $\gamma\in \{0, 1\}$ 且 $H(u, v)=\frac{2}{\alpha+\beta}|u|^{\alpha} |v|^{\beta}$, 其中 $\alpha, \beta\geq 1$ 满足 $\alpha+\beta=2^{*}_{s}$。我们研究了次临界情形 $(\gamma=0)$ 和临界情形 $(\gamma=1)$, 并利用 Ljusternik-Schnirelmann 理论, 将解的数量与势函数 $V$ 和 $W$ 达到其最小值的集合的拓扑联系起来。