分数阶对数 Schrödinger 方程的半经典态

本文考虑以下分数阶对数 Schrödinger 方程 \begin{equation*} \varepsilon^{2s}(-\Delta)^s u + V(x)u=u\log |u|^2\ \ \text{in}\ \R^N, \end{equation*} 其中 $\varepsilon>0$, $N\ge 1$, $V(x)\in C(\R^N,[-1,+\infty))$。通过引入一个有趣的惩罚函数,我们证明了当 $\varepsilon\to 0$ 时,该问题存在一个集中于 $V$ 的局部极小值处的正解 $u_{\varepsilon}$。对 $V$ 的衰减速率没有限制,特别是它可以是紧支撑的。