非线性薛定谔方程半经典态的存在性与集中现象

本文研究以下半线性薛定谔方程 $$-\epsilon^2\triangle u+ u+ V(x)u=f(u),\ u\in H^{1}(\mathbb{R}^{N}),$$ 其中 $N\geq 2$ 且 $\epsilon>0$ 为小参数。函数 $V$ 在 $\mathbb{R}^N$ 中有界，$\inf_{\mathbb{R}^N}(1+V(x))>0$，且它有一个可能退化的孤立临界点。在关于 $f$ 的某些条件下，我们证明了当 $\epsilon\rightarrow 0$ 时，该方程存在一个集中于 $V$ 的临界点处的解。