分数阶非线性薛定谔方程的集中驻波

我们考虑半线性方程 $$\epsilon^{2s} (-\Delta)^s u + V(x)u - u^p = 0, \quad u>0, \quad u\in H^{2s}(\R^N)$$ 其中 $0<s<1,\ 1<p<\frac{N+2s}{N-2s}$，$V(x)$ 是足够光滑的势函数且满足 $\inf_\R V(x)> 0$，$\epsilon>0$ 是一个小量。令 $w_\lambda$ 为 $H^{2s}(\R^N)$ 中方程 $(-\Delta)^s w_\lambda + \lambda w_\lambda - w_\lambda^p=0$ 的径向基态，我们构造形式为 $$u_\epsilon(x) \sim \sum_{i=1}^k w_{\lambda_i} ((x-\xi_i^\epsilon)/\epsilon),$$ 的解，其中 $\lambda_i = V(\xi_i^\epsilon)$ 且 $\xi_i^\epsilon$ 趋近于 $V$ 的适当临界点。通过 Lyapunov-Schmidt 变分约化，我们恢复了 $s=1$ 情形下已知的各种存在性结果。特别是，此类解存在于 $V$ 的 $k$ 个非退化临界点附近。对于 $s=1$，这对应于 Floer-Weinstein 和 Oh 的经典结果。