具临界指数增长的 Chern-Simons-Schrödinger 方程的驻波

本文结合变分法与 Trudinger-Moser 不等式，研究以下 Chern-Simons-Schrödinger 方程正驻波的存在性与多重性：\n\begin{equation} -\Delta u+u +\lambda\left(\int_{0}^{\infty}\frac{h(s)}{s}u^{2}(s)ds+\frac{h^{2}(\vert x\vert)}{\vert x\vert^{2}}\right)u=f(x,u)+\epsilon k(x)\quad\quad \text{in}\,\,\mathbb{R}^2, \\ \end{equation}\n其中 $h(s)=\int_{0}^{s}\frac{l}{2}u^{2}(l)dl$，$\lambda>0$，且非线性项 $f:\mathbb{R}^2\times \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ 在 $\vert u\vert\rightarrow \infty$ 时表现为 $\text{exp}(\alpha\vert u\vert^{2})$。对于 $\epsilon=0$ 的情形，我们可以得到一个山路型解。