带有空间生长非线性势的 Focusing 不均匀 Schrödinger 方程的规范站立波

我们研究了带有 $b>0$ 和 $p>1$ 的以下带有空间生长非线性势的 Focusing 不均匀 Schrödinger 方程：$$i\partial_t u + \Delta u = -|x|^b |u|^{p-1}u ,\quad (t,x)\in (0,\infty)\times\mathbb{R}^N,$$由于非线性项的空间生长，标准紧凑性方法无法适用，出现了新的困难。我们首先通过在 Neh 变量流形上的变分方法来表征基态站立波，并建立了一些尖锐的稳定性和不稳定性性质。在 $L^2$ 亚临界情形下，我们通过求解径向能量空间中的约束能量最小化问题，证明了规范基态的存在性，并说明得到的最小化解集合在流动下是轨道稳定的。相反，在 $L^2$ 临界和超临界情形下，基态站立波被证明在有限时间内会发生爆炸，从而强烈不稳定。我们的结果将非线性 Schrödinger 方程的经典稳定性和不稳定性理论推广到具有空间生长非均匀非线性的情况。