空间离散非线性薛定谔晶格中的基态

Weinstein 在其开创性工作中考虑了定义在 ${\mathbb Z}^d$ 上、具有幂律非线性的离散薛定谔方程的基态问题。更具体地，他通过固定幂 $P$（即 $l^2$ 质量）最小化哈密顿泛函，构造了所谓的归一化波。这类变分方法使人能够直接断言此类波的集合稳定性。本文中，我们从多个方向重访并拓展了 Weinstein 的工作。首先，对于归一化波，我们证明它们作为相应离散 NLS 演化方程的解实际上是谱稳定的。接着，我们通过一个不同的约束优化问题构造了所谓的齐次波。重要的是，该构造对所有参数值均成立，例如 $l^2$ 超临界问题。我们基于经典的 Grillakis-Shatah-Strauss/Vakhitov-Kolokolov 量 $\partial_\omega \|\varphi_\omega\|_{l^2}^2$ 建立了决定齐次波稳定性的严格判据。此外，我们给出了孤子的一些对称性结果。最后，我们以数值计算补充了我们的结果，展示了 GSS/VK 判据与线性化问题所得结论的完全一致。特别地，可以观察到随着谱参数 $\omega$ 的变化，波的稳定性可能发生转变，这与相应的连续 NLS 模型形成对比。