星形图上NLS方程驻波的变分性质与轨道稳定性

我们研究星形图$\mathcal{G}$（即$N$条半直线在顶点连接）上的非线性薛定谔方程的驻波。在顶点处，由强度$\alpha\leqslant 0$的delta型边界条件描述相互作用。非线性为聚焦幂次型。动力学由方程$i \frac{d}{dt}\Psi_t = H \Psi_t - | \Psi_t |^{2\mu} \Psi_t$给出，其中$H$是生成线性薛定谔动力学的哈密顿算子。我们展示了对于每个$\omega > \frac{\alpha^2}{N^2}$，在顶点处耦合的每个符号下，存在多个驻波族。此外，我们确定了基态（作为Nehari流形上作用量的极小值），并对各个族进行排序。最后，我们证明如果非线性是次临界或临界的，则对于所有允许的$\omega$，基态是轨道稳定的；否则对于$\omega<\omega^\ast$是稳定的。