星型图上 NLS-$\delta'_s$ 方程的动力学与变分性质

我们研究由 $N$ 条半直线构成的星型图 $\Gamma$ 上、具有强度为 $\beta\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ 的 $\delta'_s$ 耦合的非线性薛定谔方程。非线性形式为 $g(u)=|u|^{p-1}u, p>1$。论文第一部分，在关于 $\beta$ 的一定限制下，我们证明了基态解作为 Nehari 流形上作用泛函 $S_\omega$ 极小元的存在性。包含基态的临界点族由 $N$ 个轮廓（一个对称与 $N-1$ 个非对称）组成。特别地，对于吸引型 $\delta'_s$ 耦合（$\beta<0$）且频率 $\omega$ 高于某阈值时，我们明确了基态。第二部分致力于研究临界点的轨道不稳定性。利用 Grillakis/Jones 不稳定性定理，我们证明了临界点的谱不稳定性。随后，由于方程对应的数据-解映射在 $H^1(\Gamma)$ 中为 $C^2$ 类，当 $p>2$ 时轨道不稳定性随之成立。此外，对于 $p>5$，我们完善并具体化不稳定性结果，证明了特定临界点在有限时间内爆破的强不稳定性。