星形图上 NLS 方程的约束能量最小化与轨道稳定性

我们考虑星形图 ${\mathcal G}$ 上具有幂型聚焦非线性的非线性 Schrödinger 方程，写作 $i \partial_t \Psi (t) = H \Psi (t) - |\Psi (t)|^{2\mu}\Psi (t)$，其中 $H$ 是定义图上线性动力学的自伴算子，在顶点处具有强度为 $\alpha < 0$ 的吸引性 $\delta$ 相互作用。质量和能量泛函由该流守恒。我们证明，对于 $0<\mu<2$，固定质量下的能量有下界，并且对于每个低于临界质量 $m^*$ 的质量 $m$，能量在某个 $\hat \Psi_m \in H^1(\GG)$ 处达到最小值，而对于 $m>m^*$ 则不存在最小值。此外，最小值集合具有结构 ${\mathcal M}={e^{i\theta}\hat \Psi_m, \theta\in \erre}$。相应地，对于每个 $m<m^*$，存在唯一的 $\omega=\omega(m)$，使得驻波 $\hat\Psi_{\omega}e^{i\omega t}$ 是轨道稳定的。为了证明上述结果，我们将浓度紧性方法适配到星形图的情形。由于支撑动力学的集合（即图）缺乏平移对称性，这一过程并非平凡。这在本质上影响了浓度紧性引理的证明与陈述，及其在约束能量最小化中的应用。质量阈值的存在源于系统在自由（或 Kirchhoff）情形下的不稳定性，而在我们的设定中，这对应于 $\al=0$。