星型图上 NLS 方程驻波的轨道不稳定性

我们考虑定义在星型图 $\Gamma$（在公共顶点处粘合的 $N$ 条半直线）上的具有任意正幂非线性的非线性薛定谔（NLS）方程，且在顶点处具有 $\delta$ 相互作用。相互作用的强度由固定值 $\alpha \in \mathbb{R}$ 定义。在 Adami 等人的近期工作中，已证明对于 $\alpha \neq 0$，图 $\Gamma$ 上的 NLS 方程承认唯一的对称（关于边的置换对称）驻波，且所有其他可能的驻波均非对称。此外，对于 $\alpha<0$ 已证明，在具有次临界幂型非线性的 NLS 方程中，该唯一对称驻波是轨道稳定的。本文中，我们分析 $\alpha<0$ 与 $\alpha>0$ 两种情况下驻波的稳定性。通过将 Sturm 理论推广至星型图上的薛定谔算子，我们给出了每个驻波的 Morse 指数与退化指数的显式计数。对于 $\alpha<0$，我们证明具有任意正幂非线性的 NLS 方程中所有非对称驻波均为轨道不稳定。对于 $\alpha>0$，我们证明所有驻波均轨道不稳定。