星图上平移态的谱稳定性

我们考虑了在由 $N$ 条边和单个顶点组成、且满足广义基尔霍夫边界条件的星图上，具有次临界幂非线性的非线性 Schrödinger (NLS) 方程。定态 NLS 方程可能允许存在一族由平移参数化的孤波，我们将其称为平移态。两个主要例子包括： 在经典基尔霍夫边界条件下具有偶数 $N$ 的星图，以及 在广义基尔霍夫边界条件系数满足单一约束的条件下，具有一条入射边和 $N-1$ 条出射边的星图。我们获得了平移态 Morse 指数的一般计数结果，并将其应用于这两个例子。在情形 中，我们证明了当 $N \geq 4$ 为偶数时的平移态是作用泛函的鞍点，在 NLS 流下是谱不稳定的。在情形 中，我们证明了在 $N-1$ 条出射边中具有单调轮廓的平移态是谱稳定的，而在 $N-1$ 条出射边中具有非单调轮廓的平移态是谱不稳定的，这两族平移态在半孤子态处相交，该半孤子态是谱稳定但非线性不稳定的。由于具有平移态的星图上的 NLS 方程可以化简为直线上的齐次 NLS 方程，平移态的谱不稳定性源于破坏这种化简的微扰。我们给出了一个简单的论证，表明由于破坏化简为直线上 NLS 方程的微扰，谱稳定的平移态在 NLS 流下是非线性不稳定的。