具有势能的一般星形图上 NLS 方程的基态与轨道稳定性

我们考虑定义在图或网络上的非线性薛定谔方程（NLS），该图由一个通用的紧部分以及有限多条半直线附着而成。我们将这种结构称为星形图。在图的顶点处可以存在 $\delta$ 型相互作用，并允许存在整体外部势能。在对势能的一般假设下，我们证明 NLS 在能量域中是全局适定的。我们感兴趣的是在常质量（$L^2$-范数）流形上最小化系统的能量。当极小元存在时，称为基态，它是 NLS 演化的轨道稳定驻波剖面。我们证明，只要能量的二次部分在谱底具有一个简单的孤立特征值（即线性基态），对于充分小的质量基态就存在。这是对此前在单顶点星形图上所得结果的大幅推广。证明的主要部分致力于证明星形结构上的集中紧性原理；由于定义域缺乏平移不变性，这是非平凡的。然后我们证明，对于带外部线性势能的约束 NLS 能量，若一个取极小值的有界 $H^1$ 序列的质量足够小，则该序列实际上是收敛的。我们给出了若干例子并讨论了关于线性部分的假设条件。