混合平面上 NLS 的基态

我们研究在称为混合平面的流形上非线性 Schrödinger 方程的基态的存在性、不存在性及其形状，该流形由一条原点与平面相连的半直线构成。非线性项为幂次型、聚焦且亚临界的。能量是半直线上的非线性 Schrödinger 能量与平面上带有耦合这两个分量的附加二次项的接触相互作用之和。我们所说的基态是指在固定质量下能量的每个极小化子。作为第一个结果，我们指出以下规律：当且仅当在连接处附近的约束在能量上比沿半直线逃逸至无穷远更有利时，基态存在；同时证明通过平面逃逸永远是不利的。于是，存在性问题归结为与一维孤子的竞争。根据这一准则，我们证明了在质量取大值和小值时基态的存在性。此外，我们证明在给定质量下，如果满足以下条件之一，则基态存在：半直线原点处的相互作用不太排斥；平面原点处的相互作用充分吸引；半直线与平面之间的耦合足够强。另一方面，如果半直线和平面上的接触相互作用足够排斥且耦合不太强，则不存在基态。最后，我们给出了基态的定性特征。特别地，我们证明在存在耦合的情况下，每个基态都同时支撑在半直线和平面上，并且每个分量都具有在其质量下带有适当接触相互作用的相关非线性 Schrödinger 能量的基态形状。这些是混合维度流形上非线性 Schrödinger 方程的首批结果。