一维双重非线性薛定谔方程的规定质量基态

我们研究直线上两类聚焦型非线性薛定谔方程在固定质量下基态的存在性与唯一性问题。第一类由集中在一点上的幂次非线性项构成的 NLS 组成。对于该模型，我们证明了当非线性幂次为 $L^2-$次临界时，在任意质量下基态存在且唯一；在 $L^2-$临界情形中，于质量的阈值处存在且唯一。第二类是在前述设定上添加一个标准幂次非线性项得到的。在此情形下，我们证明了在双重次临界情形（即与点状非线性及标准非线性相关的两个幂次均为次临界）下，任意质量时均存在且唯一。若仅有一个幂次为临界，则存在性与唯一性仅对低于该临界非线性所对应的临界质量的质量成立。最后，在双重临界情形中，基态仅存在于临界质量处，其数值源于两种非线性之间非平凡的相互作用。