平面上混合薛定谔系统的存在性与不存在性结果

本文关注如下局部与非局部混合型方程组解的存在性与不存在性 \begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} -\partial_{xx}u + (-\Delta)_{y}^{s_{1}} u + u - u^{2_{s_{1}}^{}-1} = \kappa \alpha h(x,y) u^{\alpha-1}v^{\beta} & \quad \mbox{in} ~ \mathbb{R}^{2}, -\partial_{xx}v + (-\Delta)_{y}^{s_{2}} v + v- v^{2_{s_{2}}^{}-1} = \kappa \beta h(x,y) u^{\alpha}v^{\beta-1} & \quad \mbox{in} ~ \mathbb{R}^{2}, u,v ~ \geq ~0 \quad \mbox{in} ~ \mathbb{R}^{2}, \end{aligned} \right. \end{equation*} 其中 $s_{1},s_{2} \in (0,1),~\alpha,\beta>1,~\alpha+\beta \leq \min \{ 2_{s_{1}}^{},2_{s_{2}}^{}\}$, 且 $2_{s_i}^{} = \frac{2(1+s_i)}{1-s_i}, i=1,2$。基态解的存在性完全取决于参数 $\kappa>0$ 的行为以及函数 $h$。在本文中，我们证明在次临界情形下，若 $\kappa$ 足够大且 $h$ 满足 (1.3)，则存在基态解。此外，若此种情形下 $\kappa$ 变得非常小，则系统不存在任何解。临界情形（即 $s_1=s_2=s, \alpha+\beta=2_s$）的研究更为复杂，解仅对满足 (H1) 的大 $\kappa$ 与径向 $h$ 存在。最后，我们建立了一个 Pohozaev 恒等式，借此可在 $h$ 的某些光滑性假设下证明不存在性结果。