非线性薛定谔方程的表面间隙孤子基态

我们考虑非线性薛定谔方程$(-\Delta +V(x))u = \Gamma(x) |u|^{p-1}u$, $x\in \R^n$，其中$V(x) = V_1(x) \chi_{\{x_1>0\}}(x)+V_2(x) \chi_{\{x_1<0\}}(x)$且$\Gamma(x) = \Gamma_1(x) \chi_{\{x_1>0\}}(x)+\Gamma_2(x) \chi_{\{x_1<0\}}(x)$，并且$V_1, V_2, \Gamma_1, \Gamma_2$在每个坐标方向上是周期的。该问题描述了两个周期介质（例如光子晶体）的界面。我们研究当$0<\min \sigma(-\Delta +V)$时$H^1$基态解（表面间隙孤子基态）的存在性。利用集中紧性论证，我们基于每个周期问题（$V\equiv V_1, \Gamma\equiv \Gamma_1$和$V\equiv V_2, \Gamma\equiv \Gamma_2$）的基态能量以及基于基态本身的一个更实用的判据，给出了存在性的抽象判据。提供了满足这些判据的界面例子。在一维情形下，令人惊讶地表明，该判据可以简化为对算子$-\tfrac{d^2}{dx^2} +V_1(x)$和$-\tfrac{d^2}{dx^2} +V_2(x)$的线性布洛赫波的条件。