局部有限图上对数薛定谔方程的基态

本文研究如下对数薛定谔方程 $$-\Delta u+a(x)u=u\log u^2\ \ \ \ \mbox{in }V,$$ 其中 $\Delta$ 为图拉普拉斯算子，$G=(V,E)$ 为连通的局部有限图，势函数 $a: V\to \mathbb{R}$ 下有界且可变号。我们首先在对 $a(x)$ 施加不同假设的情形下建立两个 Sobolev 紧嵌入定理。这导出了两类相关的能量泛函，其中一类在对数非线性下未良好定义，而另一类为 $C^1$。随后分别利用 Nehari 流形方法与山路定理得到基态解的存在性。