图上非线性双调和方程解的存在性与收敛性

本文首先证明定义在局部有限图 $G=(V,E)$ 上的 Sobolev 空间的一些命题，这些命题在处理变分框架下图上的方程时是基础性的。随后我们考虑图 $G=(V,E)$ 上的非线性双调和方程 $$\Delta^{2} u -\Delta u+(\lambda a+1)u= |u|^{p-2}u$$。在若干适当假设下，我们证明对任意 $\lambda>1$ 和 $p>2$，该方程存在基态解 $u_{\lambda}$。此外，我们证明当 $\lambda\rightarrow +\infty$ 时，解 $u_{\lambda}$ 收敛于方程 \begin{align*} \begin{cases} \Delta^{2}u -\Delta u+u = |u|^{p-2}u, &\text{in}\ \ \Omega, u=0, &\text{on}\ \ \partial\Omega, \end{cases} \end{align*} 的解，其中 $\Omega=\{x\in V: a(x)=0\}$ 为势阱，$\partial\Omega$ 表示 $\Omega$ 的边界。