Neumann 边界条件下的不定凹-凸方程 I

我们研究问题 $$-\Delta u = \lambda b(x)|u|^{q-2}u +a(x)|u|^{p-2}u \mbox{ in } \Omega, \quad \frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}} = 0 \mbox{ on } \partial \Omega, \leqno{(P_\lambda)}$$ 其中 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^N$ ($N \geq2$) 中的有界光滑区域，$1<q<2<p$，$\lambda \in \mathbb{R}$，且 $a,b \in C^\alpha(\overline{\Omega})$，$0<\alpha<1$。在对 $a$ 和 $b$ 的某些不定型条件下，我们证明了对于小的 $|\lambda|$ 存在两个非平凡非负解。然后我们刻画了当 $\lambda \to 0$ 时这些解的渐近轮廓，这在某些情形下意味着这些解的正性与有序性。此外，该渐近分析暗示了非负解集内存在环型子连续统。在某些情形下，我们通过 $(P_\lambda)$ 的正则化版本的分支与拓扑分析证明了此类子连续统的存在性。