梯度临界增长椭圆型问题解的连续统

我们考虑边值问题 \begin{equation*} - \Delta u = \lambda c(x)u+ \mu(x) |\nabla u|^2 + h(x), \quad u \in H^1_0(\Omega) \cap L^{\infty}(\Omega) \eqno{(P_{\lambda})} \end{equation*} 其中 $\Omega \subset \R^N, N \geq 3$ 是具有光滑边界的有界区域。假设 $c\gneqq 0$，$c,h$ 属于某个 $p > N/2$ 的 $L^p(\Omega)$，且 $\mu \in L^{\infty}(\Omega)$。我们明确了一个条件，保证当 $\lambda <0$ 时 $(P_{\lambda})$ 存在唯一解，并表明这些解属于一个连续统。该连续统的行为本质上取决于 $(P_0)$ 解的存在性。若 $(P_0)$ 有解，则连续统穿过轴 $\lambda =0$；否则，它在轴 $\lambda =0$ 左侧从无穷远处分岔。假设 $(P_0)$ 有解并加强我们的假设为 $\mu(x)\geq \mu_1>0$ 且 $h\gneqq 0$，我们证明连续统在轴 $\lambda =0$ 右侧从无穷远处分岔，这特别意味着对于任何充分小的 $\lambda >0$，存在两个解。