具有凹凸非线性的椭圆问题从单一解分岔出的无穷多全局连续统

我们研究在环域 $\Omega\subset\mathbb{R}^N$ 上具有以下形式的半线性椭圆边值问题的解的分岔：\begin{align*} \begin{aligned} -\Delta u &= f_\lambda(|x|,u,|\nabla u|) &&\text{in }\Omega, u &= 0 &&\text{on }\partial\Omega, \end{aligned} \end{align*} 具有凹凸非线性，其特例是 Ambrosetti、Brezis 和 Cerami 首先考虑的非线性：$f_\lambda(|x|,u,|\nabla u|)=\lambda|u|^{q-2}u + |u|^{p-2}u$，其中 $1<q<2<p$。尽管当 $\lambda=0$ 时平凡解 $u_0\equiv0$ 是非退化的，我们证明 $(\lambda_0,u_0)=(0,0)$ 是一个分岔点。事实上，分岔情形非常奇异：我们证明了存在无穷多个径向解的全局连续统 $\mathcal{C}_j^\pm\subset\mathbb{R}\times\mathcal{C}^1(\Omega)$, $j\in\mathbb{N}_0$，它们在 $(\lambda_0,u_0)=(0,0)$ 处从平凡分支 $\mathbb{R}\times\{0\}$ 分岔而出，并由恰好具有 $j$ 个节点环域的解组成。对这些连续统的详细研究表明它们累积于 $\mathbb{R}_{\ge0}\times\{0\}$，使得每个 $\lambda\ge0$ 的 $(\lambda,0)$ 都是分岔点。此外，通过在 $\mathcal{C}^1(\Omega)$ 中添加一个无穷远点，它们也累积于 $\mathbb{R}\times\{\infty\}$，因此在每个 $\lambda\in\mathbb{R}$ 处存在从无穷远处分岔。