一类含 p-梯度项的 p-Laplacian 型椭圆问题的多解性

我们考虑如下问题 $$(P) \begin{cases} -\Delta_{p}u= c(x)|u|^{q-1}u+\mu |\nabla u|^{p}+h(x) & \ \ \mbox{在 } \Omega \mbox{ 内}, u=0 & \ \ \mbox{在 } \partial\Omega \mbox{ 上}, \end{cases}$$ 其中 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^{N}$ ($N\geq 3$) 中具有光滑边界的有界集, $1<p<N$, $q>0$, $\mu \in \mathbb{R}^{*}$, 且 $c$ 和 $h$ 属于 $L^{k}(\Omega)$ 对某个 $k>\frac{N}{p}$。本文中, 我们假设在 $\Omega$ 内几乎处处有 $c\gneqq 0$, 且 $h$ 无符号条件, 然后证明当 $\|c\|_{k}$ 和 $\|h\|_{k}$ 适当小时, 至少存在两个有界解。为此, 我们在一个与 $(P)$ 等价且具有变分结构的问题上应用山路定理。这里的主要困难在于所考虑的非线性项不满足 Ambrosetti-Rabinowitz 条件。核心思想是用**无穷远处的非二次性条件**替代原条件。