涉及非局部积分微分算子且不满足 Ambrosetti-Rabinowitz 条件的椭圆问题多解性结果

本文研究光滑有界域上一类一般椭圆方程（$\mathscr{P}_{\lambda}$）弱解的存在性与多解性，该方程由具有 Dirichlet 边界条件的非局部积分微分算子 $\mathscr{L}_{\mathcal{A}K}$ 驱动，并涉及变指数且不满足 Ambrosetti 与 Rabinowitz 型增长条件。利用不同版本的 Mountain Pass 定理，以及带 Cerami 条件的 Fountain 定理与对偶 Fountain 定理，我们得到问题（$\mathscr{P}_{\lambda}$）弱解的存在性，并证明所处理的问题对任意足够小的参数 $\lambda>0$ 至少存在一个非平凡解，且解在分数 Sobolev 范数下随 $\lambda \to 0$ 而爆破。此外，对于次线性情形，通过对非线性项 $f(x,\cdot)$ 施加若干附加假设，并利用 Kajikiya [36] 提出的对称 Mountain Pass 定理新版本，我们得到对任意参数 $\lambda>0$ 存在无穷多弱解，它们在分数 Sobolev 范数下趋于零。据我们所知，本文结果在文献中是新的。