具有奇异非线性的混合局部-非局部椭圆方程解的多重性

我们将证明如下形式的混合局部-非局部椭圆方程的多重性结果：\n\begin{eqnarray} \begin{split} -\Delta_pu+(-\Delta)_p^s u&=\frac{\lambda}{u^{\gamma}}+u^r \text { in } \Omega, \\u&>0 \text{ in } \Omega,\\u&=0 \text { in }\mathbb{R}^n \backslash \Omega; \end{split} \end{eqnarray}\n其中 \begin{equation*} (-\Delta )_p^s u(x)= c_{n,s}\operatorname{P.V.}\int_{\mathbb{R}^n}\frac{|u(x)-u(y)|^{p-2}(u(x)-u(y))}{|x-y|^{n+sp}} d y, \end{equation*} 且 $-\Delta_p$ 是通常的 $p$-Laplace 算子。在假设 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 中边界足够正则的有界区域，$p>1$，$n> p$，$s\in(0,1)$，$\lambda>0$ 且 $r\in(p-1,p^*-1)$（其中 $p^*$ 是临界 Sobolev 指数）的条件下，我们将证明当 $0<\gamma<1$ 且 $\lambda$ 取某些特定值时，我们的问题至少存在两个弱解。进一步，对于每个 $\gamma>0$，假设 $\Omega$ 严格凸，当 $p=2$ 且 $s\in(0,1/2)$ 时，我们将证明对于小的 $\lambda$ 值，问题至少存在两个正弱解，从而推广了文献 \cite{garaingeometric} 的结果。这里 $c_{n,s}$ 是合适的归一化常数，$\operatorname{P.V.}$ 表示柯西主值。