一类极强奇异临界非局部方程的全局多重性结果

在本文中，我们给出如下非局部奇异问题的全局多重性结果 \begin{equation*} (P_\la):\;\quad (-\De)^s u = u^{-q} + \la u^{{2^*_s}-1}, \quad u>0 \; \text{in}\; \Om,\quad u = 0 \; \mbox{in}\; \mb R^n \setminus\Om, \end{equation*} 其中 $\Om$ 是 $\mb{R}^n$ 中具有光滑边界 $\partial \Om$ 的有界域，$n > 2s,\; s \in (0,1),\; \la >0,\; q>0$ 满足 $q(2s-1)<(2s+1)$，且 $2^*_s=\frac{2n}{n-2s}$。利用变分法，我们证明当 $\la \in (0,\La)$ 时 $(P_\la)$ 在 $X_0$ 中至少存在两个不同的弱正解，而当 $\la>\La$ 时无解，其中 $\La>0$ 适当选取。我们还证明了一个具有独立意义的结果： $(P_\lambda)$ 的任意弱解属于 $C^\alpha(\R^n)$，其中 $\alpha=\alpha(s,q)\in (0,1)$。弱解的渐近行为表明该结果是尖锐的。