一类具有奇异非线性的加权 p-Laplace 方程

本文研究如下拟线性退化奇异椭圆方程解的存在性 \begin{equation*} (P_\la)\left\{ \begin{split} -\text{div}(w(x)|\nabla u|^{p-2}\nabla u) &= g_{\la}(u),\;u>0\; \text{in}\; \Om, u&=0 \; \text{on}\; \partial \Om, \end{split}\right. \end{equation*} 其中 $\Om \subset \mb R^n$ 为光滑有界域，$n\geq 3$，$\la>0$，$p>1$，$w$ 为 Muckenhoupt 权函数。利用变分方法，对 $g_{\la}(u)= \la f(u)u^{-q}$ 及关于 $f$ 的某些假设，我们证明了对每个 $\la>0$，$(P_\la)$ 解的存在性。此外，当 $g_{\la}(u)= \la u^{-q}+ u^{r}$ 时，我们在参数 $\la$ 的适当范围内建立了 $(P_\la)$ 至少两个解的存在性。此处我们假设 $q\in (0,1)$ 且 $r \in (p-1,p^*_s-1)$。