涉及分数阶 $p$-Laplacian 与间断临界非线性的奇异椭圆问题

在本文中，我们证明了一类具有奇性和间断临界非线性的非线性非局部椭圆问题解的存在性，该问题如下给出。\begin{align} \begin{split}\label{main_prob} (-\Delta)_p^su&=\mu g(x,u)+\frac{\lambda}{u^\gamma}+H(u-\alpha)u^{p_s^*-1},~\text{in}~\Omega u&>0,~\text{in}~\Omega, u&=0,~\text{in}~\mathbb{R}^N\setminus\Omega, \end{split} \end{align} 其中 $\Omega\subset\mathbb{R}^N$ 是具有 Lipschitz 边界的有界域，$s\in (0,1)$，$2<p<\frac{N}{s}$，$\gamma\in (0,1)$，$\lambda,\mu>0$，$\alpha\geq 0$ 为实数，$H$ 为 Heaviside 函数，即当 $a\leq 0$ 时 $H(a)=0$，当 $a>0$ 时 $H(a)=1$，且 $p_s^*=\frac{Np}{N-sp}$ 为分数阶临界 Sobolev 指数。在对函数 $g$ 的适当假设下，我们证明了该问题解的存在性。进一步，我们证明当 $\alpha\rightarrow0^+$ 时，对每个这样的 $\alpha$ 的 $\eqref{main_prob}$ 解序列收敛到 $\alpha=0$ 时该问题的解。