具有奇异非线性的变指数椭圆 PDE 的无穷多小解

我们证明了下列涉及奇异性的非局部椭圆偏微分方程存在无穷多个非负解 \begin{align} (-\Delta)_{p(\cdot)}^{s} u&=\frac{\lambda}{|u|^{\gamma(x)-1}u}+f(x,u)~\text{in}~\Omega,\nonumber u&=0~\text{in}~\mathbb{R}^N\setminus\Omega,\nonumber \end{align} 其中 $\Omega\subset\mathbb{R}^N,\, N\geq2$ 是光滑有界域，$\lambda>0$，$s\in (0,1)$，对所有 $x\in\bar{\Omega}$ 有 $\gamma(x)\in(0,1)$，对所有 $(x,y)\in\bar{\Omega}\times\bar{\Omega}$ 有 $N>sp(x,y)$，且 $(-\Delta)_{p(\cdot)}^{s}$ 是变指数的分数阶 $p(\cdot)$-Laplacian 算子。非线性函数 $f$ 满足一定的增长条件。此外，我们通过 Moser 迭代技术建立了解的一致 $L^{\infty}(\bar{\Omega})$ 估计。