一个涉及 $p(x)$-拉普拉斯算子、幂次与奇异非线性的抛物问题

本文旨在研究带 $p(x)$-拉普拉斯算子的非线性奇异抛物方程。确切地说，我们考虑如下问题并讨论非负弱解的存在性。\begin{align*} \frac{\partial u}{\partial t}-\Delta_{p(x)}u&=\lambda u^{q(x)-1} + u^{-\delta(x)}g+ f&&\text{in}~Q_T, u&= 0&&\text{on}~\Sigma_T, u(0,\cdot)&=u_0(\cdot)&&\text{in}~\Omega\nonumber. \end{align*} 这里 $Q_T=\Omega\times(0,T)$，$\Sigma_T=\partial\Omega\times(0,T)$，$\Omega$ 是 $\mathbb{R}^N$ ($N\geq 2$) 中具有 Lipschitz 连续边界 $\partial\Omega$ 的有界域，$\lambda\in(0,\infty)$，$f\in L^1(Q_T)$，$g\in L^\infty(\Omega)$，$u_0\in L^r(\Omega)$ 且 $r\geq 2$，$\delta:\overline{\Omega}\rightarrow(0,\infty)$ 连续，且 $p,q\in C(\overline{\Omega})$ 满足 $\underset{x\in\overline{\Omega}}{\max}~p(x)<N$，$q(\cdot)<p^*(\cdot)$。文章根据具有不同参数范围 $p(\cdot)$、$q(\cdot)$ 的 $f$ 的选择分为两种情况。