涉及$p$-Laplacian的非线性椭圆问题正上解的点态界及其应用

我们推导了在$R^{N}$的光滑有界区域中带零Dirichlet边界条件的$- \Delta_{p} u = \rho(x) f(u)$的正上解的先验界，其中$p>1$，$\Delta_{p}$是$p$-Laplace算子。我们将结果应用于非线性椭圆特征值问题$- \Delta_{p} u = \lambda f(u)$，带Dirichlet边界条件，其中$f$是$[0,\infty]$上的非减连续可微函数，满足$f(0) > 0$，$f(t)^{\frac{1}{p-1}}$在无穷远处超线性，并给出极值参数$\lambda_{p}^{*}$的尖锐上下界。特别地，我们考虑非线性项$f(u) = e^u$和$f(u) = (1+u)^{m}$ ($m > p-1$)，并给出$\lambda_{p}^{*}$的显式估计。作为我们结果的副产品，我们得到了$p$-Laplacian主特征值的下界，改进了近期文献中对于某些$p$和$N$范围的结果。