关于 $p$-拉普拉斯算子及其次线性扰动的反最大值原理

我们研究有界域 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ 中方程 $-\Delta_p u = \lambda m(x)|u|^{p-2}u + \eta a(x)|u|^{q-2}u + f(x)$ (其中 $q<p$) 的 Dirichlet 问题的弱解的定性性质。在对权函数 $m, a$ 与源函数 $f$ 的一定正则性与定性假设下,我们确定了参数 $\lambda$ 与 $\eta$ 的范围,使得解满足弱形式与强形式的最大值原理与反最大值原理。我们的部分结果,特别是关于在低正则性假设下反最大值原理的成立性,对于 $\eta=0$ 的未扰动问题是新的,其中一些结果即使在线性情形 $p=2$ 下也提供了新信息。特别地,我们证明对任意 $p>1$,只要 $m,f \in L^\gamma(\Omega)$ 且 $\gamma>N$,未扰动问题的解在 $p$-拉普拉斯算子第一特征值的右邻域内满足反最大值原理。为完整性起见,我们还研究了解的存在性。