半正值 $p(\cdot)$-Laplacian 问题的正解的存在性

本文寻找半正值 $p(\cdot)$-Laplacian 问题的正弱解。更具体地说，我们求解如下问题： \left\{ \begin{array}{cc} -\Delta _{p(\cdot )}u=f(u)-\lambda & \text{in }\Omega \ u>0 & \text{in }\Omega \ u=0 & \text{on }\partial \Omega \end{array}% \right. , 其中 $\Omega \subset \mathbb{R}^{N}$，$N\geq 2$ 为光滑有界域，$f$ 为次临界增长的连续函数，$\lambda >0$，$\Delta _{p(\cdot )}u=\text{div}(\left\vert \nabla u\right\vert ^{p(\cdot )-2}\nabla u)$。我们假设满足阿布罗赫特-拉比纳兹类型条件，并利用山脊通过方法、比较原理和正则化原理，在 $\lambda$ 足够小的情况下证明存在正弱解。