Heisenberg 群上半正解的半正问题

本文聚焦于在 Heisenberg 群 $\mathbb{H}^N$ 上建立一类半正问题的正弱解。具体而言，我们关注以下问题的正弱解：\begin{equation}\label{p1} -\Delta_{\mathbb{H}}u= g(\xi)f_a(u) \text{ 在 } \mathbb{H}^N \tag{$P_a$}, \end{equation}其中 $a>0$ 为实参数，$g$ 为正函数。函数 $f_a: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 为连续函数，属于半正类型，即在域的某些部分变为负。由于这种符号变化的非线性，我们不能直接应用最大原理来获得解的正性。为此，我们需要解的一些正则性结果。在此方向上，我们首先通过山谷通过技术证明 \eqref{p1} 的弱解的存在性。进一步，我们建立解的若干正则性质，并利用这些性质证明解的序列 $\{u_a\}$ 在 $a \to 0$ 时的 $L^\infty$-范数收敛到一个正函数 $u$，从而在 $a$ 足够小时，$u_a \geq 0$。最后，我们使用 Riesz 表示公式，在 $f_0$ 和 $g$ 上的额外假设下获得解的正性。据我们所知，目前尚无文献讨论 Heisenberg 群上的半正问题。