关于 $\mathbb{R}^N$ 上分数阶 $p$-拉普拉斯算子的半正问题

对于 $N \geq 1, s\in (0,1)$ 和 $p \in (1, \frac{N}{s})$，我们为以下与分数阶 $p$-拉普拉斯算子相关的半正问题类寻找正解：\begin{equation}\tag{SP} (-\Delta)_{p}^{s}u = g(x)f_a(u) \text{ in } \mathbb{R}^N, \end{equation} 其中 $g \in L^1(\mathbb{R}^N) \cap L^{\infty}(\mathbb{R}^N)$ 是一个正函数，$a>0$ 是一个参数，$f_a \in \mathcal{C}(\mathbb{R})$ 定义为：对于 $t \ge 0$，$f_a(t) = f(t)-a$；对于 $t \in [-1, 0]$，$f_a(t) = -a(t+1)$；对于 $t \le -1$，$f_a(t) = 0$。这里 $f$ 是 $[0,\infty)$ 上的非负连续函数，满足 $f(0)=0$ 且具有次临界和 Ambrosetti-Rabinowitz 型增长。根据 $a$ 的范围，我们在 $\mathcal{D}^{s,p}(\mathbb{R}^N)$ 中获得了 (SP) 的登山路解的存在性。然后，我们证明了登山路解在 $L^r(\mathbb{R}^N)$ 中关于 $a$ 是一致有界的，其中 $r \in \left[\frac{Np}{N-sp}, \infty\right]$。此外，如果 $p>\frac{2N}{N+2s}$，我们证明对于每个接近零的 $a$，(SP) 存在一个非负的登山路解。最后，在假设 $g(x) \leq \frac{B}{|x|^{\beta(p-1)+sp}}$（其中 $B>0, x \neq 0$，且 $\beta \in \left(\frac{N-sp}{p-1}, \frac{N}{p-1}\right)$）下，我们推导出 (SP) 的一个显式正径向子解，并证明该非负解在 $\mathbb{R}^N$ 中几乎处处为正。