涉及分数阶 $(p,q)$-Laplacian 的 Kirchhoff 型方程

在本文中，我们研究以下 Kirchhoff 型分数阶 $(p\text{-}q)$-Laplacian 问题的解的存在性与非存在性：\n\begin{equation*}\n\begin{cases}\nM\left([u]^p_{p,s_1}\right)(-\Delta)^{s_1}_p u + M\left([u]^q_{q,s_2}\right)(-\Delta)^{s_2}_q u = \lambda\big[a(x)|u|^{p-2}u + b(x)|u|^{q-2}u\big] + h(x), & \text{in } \Omega, \\\nu = 0, & \text{on } \mathbb{R}^N \setminus \Omega,\n\end{cases}\n\end{equation*}\n其中 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$（$N \geq 1$）是具有光滑边界的有界区域，$0 < s_1 < s_2 < 1$，且 $s_1 p < N$。我们假设 $1 < q \leq p < \theta p < p^{*}_{s_1} := \dfrac{Np}{N - s_1 p}$，且 $\lambda \in \mathbb{R}$。函数 $a(x)$、$b(x)$ 和 $h(x)$ 均为非负函数，其中 $a, b \in L^\infty(\Omega)$，$h \in L^q(\Omega)$。利用变分方法，我们建立了至少两个弱解的存在性。第一个解通过关联能量泛函的直接极小化获得，第二个解通过应用山路定理获得。我们还证明了当参数 $\lambda > 0$ 较小时解的非存在性。