全空间中半拉普拉斯算子的临界指数

我们研究如下型分数阶椭圆方程弱解的存在性：\begin{equation*} (-\Delta)^{\frac{1}{2}} u+ V(x) u= h(u),\; u> 0 \;\textrm{in}\; \mathbb R, \end{equation*} 其中 $h$ 是实值函数，在 $u\rightarrow \infty$ 时行为如 $e^{u^2}$，且 $V(x)$ 是正的、连续的、无界函数。此处 $(-\Delta)^{\frac{1}{2}}$ 为分数阶拉普拉斯算子。我们证明了当非线性项在 $t=0$ 附近超线性时山岭路径解的存在性。我们还研究了对应的基尔霍夫方程的临界指数问题 $$m\left(\int_{\mathbb R}|(-\Delta)^{\frac{1}{2}}u|^2 dx+ \int_{\mathbb R} u^2 V(x)dx\right)\left((-\Delta)^{\frac{1}{2}} u+ V(x) u\right)= f(u)\;\, \text{in}\, \mathbb R$$ 其中 $f(u)$ 在 $u\rightarrow \infty$ 时行为如 $e^{u^2}$，在 $u\rightarrow 0$ 时 $f(u)\sim u^3$。