分数阶 $q(.)$-拉普拉斯方程解的多重性

本文研究如下椭圆型问题 $$\begin{cases} (-\Delta)_{q(.)}^{s(.)}u + \lambda Vu = \alpha \left\vert u\right\vert^{p(.)-2}u+\beta \left\vert u\right\vert^{k(.)-2}u & \text{ in }\Omega, \[7pt] u =0 & \text{ in }\mathbb{R}^{n}\backslash \Omega , \end{cases}$$ 其中 $q(.):\overline{\Omega}\times \overline{\Omega}\rightarrow \mathbb{R}$ 为可测函数，$s(.):\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n\rightarrow (0,1)$ 为连续函数，对所有 $(x,y)\in \Omega \times \Omega$ 有 $n>q(x,y)s(x,y)$，$(-\Delta)_{q(.)}^{s(.)}$ 为变阶分数阶拉普拉斯算子，$V$ 为正连续势。利用山路范畴定理与 Ekeland 变分原理，我们得到对所有 $\lambda>0$ 至少存在两个不同解。此外，我们证明当 $\lambda \rightarrow +\infty$ 时，这些解收敛于极限问题的无穷多解中的两个。