$\mathbb{R}^n$ 中具有临界增长和凸非线性的分数阶椭圆问题

本文证明了在凸情形 $1\leq q<2_s^*-1$ 下，$\mathbb{R}^n$ 中非线性非局部椭圆方程 $$(-\Delta)^s u =\varepsilon h u^q+u^{2_s^*-1}$$ 正解的存在性，其中 $2_s^*={2n}/({n-2s})$ 是临界分数阶 Sobolev 指数，$(-\Delta)^s$ 是分数阶 Laplace 算子，$\varepsilon$ 是一个小参数，$h$ 是给定的有界可积函数。该问题具有变分结构，我们使用经典的 Mountain-Pass 定理证明了解的存在性。这里我们使用分数阶 Laplacian 的调和延拓，这使我们能够处理加权（但可能退化）的局部算子，而非非局部能量。为了克服临界幂次导致的紧性丧失，我们使用了集中-紧性原理。此外，在这种凸情形下，需要对能量泛函的几何性质进行更精细的分析。