一类带半正非线性项的参数分数阶 $p$-Laplacian 问题正解的存在性

本文中，我们证明了如下非局部半正（semipositone）问题 $$\displaystyle \left\{\begin{array}{rcll} (-\Delta)_p^s(u) &=& \lambda f(u) \qquad & \text{in} \ \ \Omega \\u &=& 0 & \text{in} \ \ \mathbb{R}^N -\Omega , \end{array}\right.$$ 在 $\lambda >0$ 为充分小参数时至少存在一个正解。此处 $\Omega \subseteq \mathbb{R}^N$ 为具有 $C^{1,1}$ 边界的有界域，$2\leqslant p <N$，$s\in (0,1)$ 且 $f$ 为超线性且次临界的。我们证明若取 $\lambda>0$ 充分小，则该问题对应的能量泛函具有山路结构，从而存在一个临界点 $u_\lambda$，其为弱解。此后我们借助新的直至边界的正则性结果及 Hopf 引理，证得该解为正的。