含零点非线性的分数阶拉普拉斯方程的非负解

我们研究如下非局部非线性问题 \begin{equation}\label{ppp} \left\{ \begin{array}[c]{lll} (-\Delta)^s u = \lambda f(u) & \mbox{in }\Omega, \\ u=0&\mbox{on } \mathbb{R}^N\setminus\Omega, \end{array} \right. \tag{$P_{\lambda}$} \end{equation} 其中 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^N$ 中的有界光滑区域，$N>2s$，$0<s<1$；$f:\mathbb{R}\rightarrow [0,\infty)$ 是非线性连续函数，满足 $f(0)=f(1)=0$ 且当 $t\rightarrow 0^+$ 时 $f(t)\sim |t|^{p-1}t$，其中 $2<p+1<2^*_s$；$\lambda$ 为正参数。我们证明了对所有充分大的 $\lambda$，问题(\ref{ppp})存在两个非平凡解 $u_{\lambda}$ 和 $v_{\lambda}$，满足 $0\le u_{\lambda}< v_{\lambda}\le 1$。第一个解 $u_{\lambda}$ 由山路定理得到，而第二个解 $v_{\lambda}$ 通过上下解方法得到。我们指出，我们的结果不依赖于非线性项 $f$ 在无穷远处的性态。此外，我们得到这些解属于 $L^{\infty}(\Omega)$。