基于 Nehari 流形方法的极值参数分数阶 Kirchhoff 问题

本文研究如下非局部问题 \begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} M(\|u\|^2_X)(-\Delta)^s u&= \lambda {f(x)}|u|^{\gamma-2}u+{g(x)}|u|^{p-2}u &&\mbox{in}\ \ \Omega, u&=0 &&\mbox{on}\ \ \mathbb R^N\setminus \Omega, \end{aligned} \right. \end{equation*} 其中 $\Omega\subset \mathbb R^N$ 为具有光滑边界的开有界集,$N>2s, s\in (0, 1), M(t)=a+bt^{\theta-1},\;t\geq0$,且 $\theta>1, a\geq 0$ 与 $b>0$。指数满足 $1<\gamma<2<{2\theta<p<2^*_{s}=2N/(N-2s)}$(当 $a\neq 0$ 时)以及 $2<\gamma<2\theta<p<2^*_{s}$(当 $a=0$ 时)。问题中涉及的参数 $\lambda$ 为实正数。由于非局部分数阶拉普拉斯算子以及非局部 Kirchhoff 项 $M(\|u\|^2_X)$ 的存在,所考虑的问题具有非局部行为,其中 $\|u\|^{2}_{X}=\iint_{\mathbb R^{2N}} \frac{|u(x)-u(y)|^2}{\left|x-y\right|^{N+2s}}dxdy$。权函数 $f, g:\Omega\to \mathbb R$ 连续,$f$ 为正而 $g$ 允许变号。本文针对退化与非退化 Kirchhoff 情形,变分刻画了参数的极值(应用 Nehari 流形方法的阈值),并通过基于纤维映射与 Nehari 流形的精细分析,证明即便 $\lambda$ 越过极值参数值,仍至少存在两个正解。