具有奇异与 Choquard 非线性项的退化 Kirchhoff 方程的多重正解

本文研究如下 Kirchhoff-Choquard 问题的正弱解的存在性、多重性与正则性: \begin{equation*} \begin{array}{cc} \displaystyle M\left( \iint\limits_{\mathbb{R}^{2N}} \frac{|u(x)-u(y)|^2}{|x-y|^{N+2s}}\,dxdy\right) (-\Delta)^s u = \frac{\lambda}{u^\gamma} + \left( \int\limits_{\Omega} \frac{|u(y)|^{2^{*}_{\mu ,s}}}{|x-y|^ \mu}\, dy\right) |u|^{2^{*}_{\mu ,s}-2}u \;\text{in} \; \Omega, %\quad \quad u > 0\quad \text{in} \; \Omega, \quad \quad u = 0\quad \text{in} \; \mathbb{R}^{N}\backslash\Omega, \end{array} \end{equation*} 其中 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^{N}$ 中具有 $C^2$ 边界的开有界域, $N > 2s$ 且 $s \in (0,1)$。 $M$ 刻画 Kirchhoff 型系数,特别地,为零处 Kirchhoff 系数为零的退化情形。 $(-\Delta)^s$ 为分数阶 Laplace 算子, $\lambda > 0$ 为实参数, $\gamma \in (0,1)$,且 $2^{*}_{\mu ,s} = \frac{2N-\mu}{N-2s}$ 为 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式意义下的临界指数。我们证明每个正弱解有界且满足阶为 $s$ 的 H"older 正则性。进一步,利用变分方法与截断论证,我们证明了两个正解的存在性。