一类涉及一般临界增长的 Kirchhoff 型问题的多个正解

本文研究了如下涉及临界增长的非线性 Kirchhoff 问题： \left\{% \begin{array}{ll} -(a+b\int_{\Omega}|\nabla u|^2dx)\Delta u=|u|^4u+\lambda|u|^{q-2}u, u=0\ \ \text{on}\ \ \partial\Omega, \end{array}% \right. 其中 $1<q<2$，$\lambda,\ a,\ b>0$ 为参数，$\Omega$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中的有界区域。我们证明了存在 $\lambda_1=\lambda_1(q,\Omega)>0$，使得对于任意 $\lambda\in(0,\lambda_1)$ 和 $a,\ b>0$，上述 Kirchhoff 问题至少拥有两个正解，且其中一个是正基态解。我们还建立了基态解在参数 $b\searrow 0$ 时的收敛性质。更一般地，在 $f(x)$ 和 $Q(x)$ 满足某些条件的情况下，对于任意 $a,\ b>0$ 和 $\lambda\in \big(0,\lambda_0(q,Q,f)\big)$，我们关于如下 Kirchhoff 问题获得了相同的结果： \left\{% \begin{array}{ll} -(a+b\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla u|^2dx)\Delta u+u=Q(x)|u|^4u+{\lambda}f(x)|u|^{q-2}u, u\in H^1(\mathbb{R}^3), \end{array}% \right. 最后，我们研究了 $\lambda_0$ 与 $b$ 之间的依赖关系，表明对于任意（大）$\lambda>0$，存在 $b_0(\lambda)>0$，使得当 $b>b_0(\lambda)$ 且 $a>0$ 时上述结果成立。