具有组合幂非线性的非线性Kirchhoff方程的渐近轮廓

我们研究非线性Kirchhoff方程 $$-\Big(a+b\int_{\mathbb R^N}|\nabla u|^2\Big)\Delta u+ \lambda u= u^{q-1}+ u^{p-1} \quad {\rm in} \ \mathbb R^N,$$ 在正基态解当 $\lambda\to 0$ 与 $\lambda\to +\infty$ 时的渐近行为，其中 $N=3$ 或 $N= 4$，$2<q\le p\le 2^*$，$2^*=\frac{2N}{N-2}$ 为Sobolev临界指数，$a>0$，$b\ge 0$ 为常数且 $\lambda>0$ 为参数。特别地，我们证明在 $2<q<p=2^*$ 情形下，当 $\lambda\to 0$ 时，经适当重标度后该问题的基态解收敛于方程 $-\Delta u+u=u^{q-1}$ 的唯一正解；而当 $\lambda\to +\infty$ 时，经另一重标度后该问题的基态解收敛于临界Emden-Fowler方程 $-\Delta u=u^{2^*-1}$ 的特解。我们建立了此类重标度的尖锐渐近刻画，其以非平凡方式依赖于空间维数 $N=3$ 与 $N= 4$。我们还讨论了所得结果与带质量归一化约束 $\int_{\mathbb R^N}|u|^2=c^2$ 的Kirchhoff方程相关质量约束问题之间的联系。