临界-凹面 Kirchhoff 方程的正解的个数与渐近行为

本文聚焦于带凹面扰动的临界 Kirchhoff 方程\n\begin{align*} \begin{cases} \displaystyle -\Big(a+b\int_\Omega|\nabla u|^2dx\Big)\Delta u=|u|^4u+\lambda|u|^{q-2}u\ \ &\mbox{in}\ \Omega, \displaystyle u=0\ \ &\mbox{on}\ \partial\Omega, \end{cases} \end{align*}\n其中 $\Omega$ 为光滑有界域于 $\mathbb{R}^3$，$a,b,\lambda>0$ 且 $1<q<2$。通过约束最小化方法、山坡过定理和浓度紧凑性原理，我们验证了当 $\lambda>0$ 足够小时该方程正解的个数。此外，我们分别分析当 $b\rightarrow0$ 和 $\lambda\rightarrow0$ 时正解的渐近行为。该工作是 [A. Ambrosetti 等, J.~Funct.~Anal. 1994] 中 Kirchhoff 方程的一个对手。值得注意的是，我们此处不需要 $b>0$ 足够小，这是现有文献为进行山坡水平的精细估计所要求的条件。