具有 Hardy-Littlewood-Sobolev 临界非线性的 Kirchhoff 方程

我们考虑如下 Kirchhoff - Choquard 方程 $$-M(\|\na u\|_{L^2}^{2})\De u = \la f(x)|u|^{q-2}u+ \left(\int_{\Om}\frac{|u(y)|^{2^*_{\mu}}}{|x-y|^{\mu}}dy\right)|u|^{2^*_{\mu}-2}u \; \text{in}\; \Om,\quad u = 0 \; \text{ on } \pa \Om ,$$ 其中 $\Om$ 是 $\mathbb{R}^N( N\geq 3)$ 中具有 $C^2$ 边界的有界域, $2^*_{\mu}=\frac{2N-\mu}{N-2}$, $1<q\leq 2$,且 $f$ 是连续的实值变号函数。当 $1<q< 2$ 时,利用 Nehari 流形方法和集中-紧致性引理,我们证明了上述问题正解的存在性和多解性。当 $q=2$ 时,我们也利用 Mountain Pass 引理证明了一个正解的存在性。