具有临界 Choquard 非线性的 $p$ 阶双谐 Kirchhoff 方程

本文研究如下方程： $$\left(a+b\left(\int_{\mathbb R^N}|\Delta u|^p dx\right)^{\theta-1}\right) \Delta_{p}^{2}u = \alpha \left(|x|^{-\mu}*u^{p^*_\mu}\right)|u|^{p^*_\mu-2}u+ \lambda f(x) |u|^{r-2} u \; \text{in}\; \mathbb R^N,$$ 其中 $a\geq 0$，$b> 0$，$0<\mu<N$，$N>2p$，$p\geq 2$，$\theta\geq1$，$\alpha$ 和 $\lambda$ 为正实数参数，$p_{\mu}^{*}= \frac{p(2N-\mu)}{2(N-2p)}$ 为 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式意义上的上临界指数。函数 $f \in L^{t}(\mathbb R^N)$，当 $p<r<p^*$ 时 $t= \frac{p^{*}}{(p^* -r)}$，当 $r\geq p^*$ 时 $t=\infty$。我们首先证明 $p$ 阶双谐 Choquard 类型方程的集中紧凑性原理。随后利用变分方法结合集中紧凑性，在不同 $r$ 的值下关于参数 $\lambda$ 和 $\alpha$ 建立了该问题解的存在性与多重性。本文取得的结果即便针对 $p-$Laplacian 也是全新的。