关于含混合算子的临界增长Choquard方程的多个正规化解的存在性

本文研究以下带有混合局部与非局部算子的临界增长Choquard方程的正规化解：\n\begin{equation*} \begin{array}{rcl} -\Delta u +(-\Delta)^s u & = & \lambda u +\mu |u|^{p-2}u +(I_{\alpha}*|u|^{2^*_{\alpha}})|u|^{2^*_{\alpha}-2}u \text{ 在 } \mathbb{R}^N;\;\; \left\| u \right\|_2 & = & \tau, \end{array} \end{equation*}\n其中$N\geq 3$，$\tau>0$，$I_{\alpha}$为阶为$\alpha\in (0,N)$的Riesz势，$2^*_{\alpha}=\frac{N+\alpha}{N-2}$为与Hardy Littlewood-Sobolev不等式相对应的临界指数，$(-\Delta)^s$为非局部分数Laplacian算子，其中$s\in (0,1)$，$\mu>0$为参数，$\lambda$作为拉格朗日乘子出现。我们证明在质量亚临界扰动$\mu |u|^{p-2}u$（即$2<p<2+\frac{4s}{N}$）存在至少两个互不相同的解，前提是对$\tau$满足某些假设。