Sobolev临界拟线性薛定谔方程的归一化解

在本文中，我们研究了以下具有Sobolev临界指数的拟线性薛定谔方程归一化解的存在性：\begin{eqnarray*}-\Delta u-u\Delta (u^2)+\lambda u=\tau|u|^{q-2}u+|u|^{2\cdot2^*-2}u,~~~~x\in\mathbb{R}^N,\end{eqnarray*}在质量约束$\int_{\mathbb{R}^N}|u|^2dx=c$下，其中$c>0$为给定值。这里$\tau\in \mathbb{R}$是参数，$\lambda\in\mathbb{R}$作为拉格朗日乘子出现，$N\ge3$，$2^*:=\frac{2N}{N-2}$，且$2<q<2\cdot2^*$。通过推导精确的能量水平估计并建立新的收敛定理，我们应用摄动方法在Sobolev临界区域内为$\tau>0$建立了若干存在性结果：(a) 对于$2<q<2+\frac{4}{N}$的情况，在$c>0$的显式条件下，我们获得了两个解的存在性，其中一个为局部极小值，另一个为山路型解；(b) 对于$2+\frac{4}{N}\leq q<4+\frac{4}{N}$的情况，在$c>0$的不同条件下，我们获得了山路型归一化解的存在性；(c) 对于$4+\frac{4}{N}\leq q<2\cdot2^*$的情况，在$c>0$的不同条件下，我们获得了基态归一化解的存在性。此外，当$\tau\le 0$时，我们推导了对于$2<q<2\cdot2^*$和所有$c>0$的非存在性结果。我们的研究涵盖了整个范围$q\in(2, 2 \cdot 2^*)$和所有$N\ge3$。我们发展的方法是灵活的，可以扩展到更广泛的非线性类。